Sejarah Geometri

Sejarah Geometri

.    Sejarah Geometri 

Geometri (berasal dari kata Yunani Kuno yaitu: geo-"bumi",-metron "pengukuran") adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan pertanyaan bentuk, ukuran, posisi relatif tokoh, dan sifat ruang. Geometri muncul secara independen di sejumlah budaya awal sebagai ilmu pengetahuan praktis tentang panjang, luas, dan volume, dengan unsur-unsur dari ilmu matematika formal yang muncul di Barat sedini Thales (abad 6 SM). Pada abad ke-3 SM geometri dimasukkan ke dalam bentuk aksiomatik oleh Euclid, yang dibantu oleh geometri Euclid, menjadi standar selama berabad-abad. Archimedes mengembangkan teknik cerdik untuk menghitung luas dan volume, dalam banyak cara mengantisipasi kalkulus integral yang modern. Bidang astronomi, terutama memetakan posisi bintang dan planet pada falak dan menggambarkan hubungan antara gerakan benda langit, menjabat sebagai sumber penting masalah geometrik selama satu berikutnya dan setengah milenium. Kedua geometri dan astronomi dianggap di dunia klasik untuk menjadi bagian dari Quadrivium tersebut, subset dari tujuh seni liberal dianggap penting untuk warga negara bebas untuk menguasai.

Pengenalan koordinat oleh René Descartes dan perkembangan bersamaan aljabar menandai tahap baru untuk geometri, karena tokoh geometris, seperti kurva pesawat, sekarang bisa diwakili analitis, yakni dengan fungsi dan persamaan. Hal ini memainkan peran penting dalam munculnya kalkulus di abad ke-17. Selanjutnya, teori perspektif menunjukkan bahwa ada lebih banyak geometri dari sekedar sifat metrik angka: perspektif adalah asal geometri proyektif. Subyek geometri selanjutnya diperkaya oleh studi struktur intrinsik benda geometris yang berasal dengan Euler dan Gauss dan menyebabkan penciptaan topologi dan geometri diferensial.

Dalam waktu Euclid tidak ada perbedaan yang jelas antara ruang fisik dan ruang geometris. Sejak penemuan abad ke-19 geometri non-Euclid, konsep ruang telah mengalami transformasi radikal, dan muncul pertanyaan: mana ruang geometris paling sesuai dengan ruang fisik? Dengan meningkatnya matematika formal dalam abad ke-20, juga 'ruang' (dan 'titik', 'garis', 'bidang') kehilangan isi intuitif, jadi hari ini kita harus membedakan antara ruang fisik, ruang geometris (di mana ' ruang ',' titik 'dll masih memiliki arti intuitif mereka) dan ruang abstrak. Geometri kontemporer menganggap manifold, ruang yang jauh lebih abstrak dari ruang Euclid akrab, yang mereka hanya sekitar menyerupai pada skala kecil. Ruang ini mungkin diberkahi dengan struktur tambahan, yang memungkinkan seseorang untuk berbicara tentang panjang. Geometri modern memiliki ikatan yang kuat dengan beberapa fisika, dicontohkan oleh hubungan antara geometri pseudo-Riemann dan relativitas umum. Salah satu teori fisika termuda, teori string, juga sangat geometris dalam rasa.

Sedangkan sifat visual geometri awalnya membuatnya lebih mudah diakses daripada bagian lain dari matematika, seperti aljabar atau teori bilangan, bahasa geometrik juga digunakan dalam konteks yang jauh dari tradisional, asal Euclidean nya (misalnya, dalam geometri fraktal dan geometri aljabar)

Geometri awal

Catatan paling awal mengenai geometri dapat ditelusuri hingga ke zaman Mesir kuno, peradaban Lembah Sungai Indus dan Babilonia. Peradaban-peradaban ini diketahui memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunan-bagunan besar. Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada perhitunganpanjang ruas-ruas garis, luas, dan volume.

Salah satu teori awal mengenai geometri dikatakan oleh Plato dalam dialog Timaeus {360SM) bahwa alam semesta terdiri dari 4 elemen: tanah, air, udara dan api. Hal tersebut tersebut dimaksud untuk menggambarkan kondisi material padat, cair, gas dan plasma. Hal ini mendasari bentuk-bentuk geometri: tetrahedron, kubus(hexahedron), octahedron, dan icosahedron dimana masing-masing bentuk tersebut menggambarkan elemen api, tanah, udaradan air. Bentuk-bentuk ini yang lalu lebih dikenal dengan nama Platonic Solid. Ada penambahan bentuk kelima yaitu Dodecahedron, yang menurut Aristoteles untuk menggambarkan elemen kelima yaitu ether.

B.     Bangun Ruang (Geometri)

Bangun adalah subruang yang digunakan secara paripurna oleh suatu objek pada ruang di mana objek itu berada. Subruang yang dimaksud memiliki batas-batas eksternal tertentu yang disarikan dari sifat-sifat lain semisal warna, isi, susunan bahan, juga dari sifat-sifat spasial lainnya yang dimiliki oleh objek yang dimaksud (kedudukan dan kecenderungan di dalam ruang; ukuran).

Matematikawan dan statistikawan David George Kendall mendefinisi bangun sebagai:

Bangun adalah semua informasi geometri yang tersisa pada saat lokasi, skala, dan efek putar disaring dari suatu objek.

Bangun sederhana dua dimensi dapat digambarkan oleh titik, garis, kurva, bidang, dan seterusnya. (Suatu bangun yang titik-titiknya dimiliki oleh bidang yang sama disebut gambar bidang.) Sebagian besar bangun yang muncul di dalam dunia fisika adalah kompleks. Beberapa di antaranya, seperti struktur tanaman dan pesisir pantai, mungkin sama sembarangnya seperti mendefinisikan penjelasan matematika tradisional – ketika mereka dapat dianalisis oleh geometri diferensial, ataufraktal.

Bangun ruang merupakan suatu bangun yang mempunyai 3 dimensi, yaitu panjang, lebar, dan tinggi. Berbeda dengan bangun datar yang hanya mempunyai 2 dimensi, hanya panjang dan lebar. Bangun ruang ini dibedakan menjadi 2 bagian. Pertama, bangun ruang sisi datar, dimana semua sisinya datar, seperti kubus, balok, prisma, dan limas. Kedua, bangun ruang sisilengkung, dimana ada sisinya yang melengkung, seperti tabung, kerucut, dan bola.

Ø  Bangun ruang sisi datar

1. Kubus.
   Merupakan bangun ruang yang alasnya berbentuk persegi, dan panjang semua sisinya sama. Jika panjang sisinya adalah , maka luas permukaannya adalah dan volumenya 
2. Balok.
   Bentuknya mirip dengan kubus, namun alas balik berbentuk persegi panjang. Jika alasnya mempunyai panjang dan lebar , serta tinggi baloknya , maka luas permukaannya adalah dan volumenya 
3. Prisma.
   Merupakan bangun ruang yang alasnya berbentuk bangun datar, seperti segitiga, segi lima, dan sebagainya. Luas permukaannya adalah 2 kali luas alas ditambah keliling alas dikali tingginya. Sedangkan volumenya adalah luas alasnya dikali tinggi.
4. Limas.
   Merupakan bangun ruang yang alasnya berbentuk bangun datar, tetapi sisi tegaknya berbentuk segitiga yang mengerucut pada satu titik. Luas permukaannya adalah luas alas ditambah jumlah luas sisi tegak (bentuknya segitiga). Sedangkan volumenya kali luas alas kali tinggi.

Ø  Bangun ruang sisi lengkung

1. Tabung.
   Merupakan bangun ruang yang alasnya berbentuk lingkaran. Luas permukaannya adalah. Volumenya 
2. Kerucut.
   Alasnya berbentuk lingkaran, sedangkan sisi tegaknya melengkung dan bertemu di satu titik. Luas permukaannya adalah L = luas alas + luas selimut = dengan panjang selimut kerucut dan tinggi kerucut.
3. Bola.
   Luas permukaannya dan volumenya 

C.    Sifat-sifat Bangun Ruang

1.	Sifat-Sifat Kubus
	Bangun ruang  ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut. a. Memiliki 6 sisi yang ukuran dan modelnya sama. b. Memiliki 12 rusuk yang ukurannya sama. c. Memiliki 8 buah sudut yang sama besar (90o). d. Memiliki ukuran s x s x s	Kubus
2.	Sifat-Sifat Balok
	Bangun ruang  ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut. a. Memiliki 4 sisi  berbentuk persegi panjang. b. Memiliki 2 sisi yang bentuknya sama. c. Memiliki 4 rusuk yang ukurannya sama d. Memiliki ukuran p x l x t.	Balok
3.	Sifat-Sifat Tabung
	Bangun ruang  ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut. a. Memiliki sisi alas yang berbentuk lingkaran. b. Memiliki sisi atas yang berbentuk lingkaran. c. Memiliki  sisi (selimut) yang bentuknya lengkung.	Tabung
4.	Sifat-Sifat Kerucut
	Bangun ruang  ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut. a. Memiliki sisi alas yang berbentuk lingkaran. b. Memiliki titik puncak atas. c. Memiliki  sisi (selimut) yang bentuknya lengkung.	Kerucut
5.	Sifat-Sifat Limas Segitiga
	Bangun ruang  ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut. a. Alas berbentuk segitiga. b. Memiliki 3 buah sisi yang berbentuk segitiga. c. Memiliki 6 buah rusuk. d. Memiliki 3 rusuk yang ukurannya sama. e. Memiliki titik puncak atas.	Limas Segitiga
6.	Sifat-Sifat Limas Segiempat
	Bangun ruang  ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut. a. Alas berbentuk segiempat. b. Memiliki 4 buah sisi yang berbentuk segitiga. c. Memiliki 8 buah rusuk. d. Memiliki 4 rusuk yang ukurannya sama. e. Memiliki titik puncak atas.	Limas Segiempat

7. Sifat-sifat Bola

1. mempunyai satu sisi
2. tidak mempunyai titik sudut
3. tidak mempunyai bidang datar
4. hanya mempunyai satu sisi lengkung tertutup

Bola

D.    RUMUS – RUMUS BANGUN RUANG

1.        Kubus

Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang sisi yang berbentuk bujur sangkar.

a.    Luas Permukaan kubus
L= 6 a2
b.    Volume Kubus
V = a x a x a atau V = a3

2. Balok

Balok adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang yang berbentuk persegi panjang dan sepasang-sepasang kongruen.

Keterangan :
p = panjang balok
l =lebar balok
t = tinggi balok
a.    Luas balok:
L = 2 (p.l +p.t + l.t)
b.    Volume balok:
V = p x l x t

3.Tabung (silinder)

Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi yang kongruen dan sejajar yang berbentuk lingkaran serta sebuah sisi lengkung.

Keterangan:

r = jari-jari tutup/alas tabung                    t = tinggi tabung

Volume tabung = luas alas x tinggi

Luas alas = luas lingkaran = πr2

Volume tabung = π r 2 t

Keliling lingkaran alas/tutup = 2πr

Luas Selimut= 2πrt

Luas Permukaan Tabung = 2 x luas alas + Luas selimut tabung

Luas Permukaan Tabung = 2 (π r 2 )+ 2 π r t = 2 π r ( r + t )

4. Kerucut

Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi alas berbentuk lingkaran dan sebuah sisi lengkung.

Keterangan:

r = jari-jari alas kerucut                        t = tinggi kerucut
Luas selimut = π x r x s

Luas alas = π x r 2

Luas Permukaan kerucut = Luas alas + Luas Selimut

Luas Permukaan kerucut = πr2 + πrs = π r (r + s)

Volume Kerucut =1/3 x Luas alas x tinggi = 1/3 π r2 t

5. Prisma
Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua buah bidang sejajar dimana bidang-bidang sejajar tersebut merupakan bidang atas dan bidang atas (tutup).

Rumus-rumus pada prisma:
Luas Permukaan Prisma                V = L alas x t
Luas = (2 x luas alas) + luas sisi tegak

Volume Prisma

6.Limas 

Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segi sebagai bidang alas dan beberapa bidang tegak berbentuk segitiga.

Volume Limas :
Volume = luas alas x tinggi x

7. Bola

R = jari-jari bola
Luas Permukaan bola
Luas = 4